统计 - 峰度

分布的尾部程度通过峰度来衡量。它告诉我们与正态分布相比，该分布或多或少容易出现异常值（重尾或轻尾）的程度。由 Investopedia 提供的三种不同类型的曲线如下所示 -

很难从密度图（左图）中辨别不同类型的峰度，因为所有分布的尾部都接近于零。但在正常的分位数-分位数图（右图）中很容易看出尾部的差异。

正态曲线称为中峰曲线。如果分布曲线比正态曲线或中峰曲线更容易出现异常（或重尾），则它被称为轻峰曲线。如果一条曲线比正常曲线更不易出现异常（或尾部较浅），则称为 platykurtic 曲线。峰度通过矩来测量，并由以下公式给出 -

公式

${\beta_2 = \frac{\mu_4}{\mu_2}}$

其中 -

${\mu_4 = \frac{\sum(x- \bar x)^4}{N}}$

β2 的值越大，曲线越尖峰或尖峰。正态曲线的值为 3，尖峰曲线的 β_2 大于 3，而平峰曲线的 β_2 小于 3。

例子

问题陈述：

给出了某工厂45名工人日工资数据。使用均值矩计算 beta_1 和 beta_2。对结果发表评论。

工资（卢比）	工人数量
100-200	1
120-200	2
140-200	6
160-200	20
180-200	11
200-200	3
220-200	2

解决方案：

工资（卢比）	工人人数（女性）	中点 _	m-${\frac{170}{20}}$ d	${fd}$	${fd^2}$	${fd^3}$	${fd^4}$
100-200	1	110	-3	-3	9	-27	81
120-200	2	130	-2	-4	8	-16	32
140-200	6	150	-1	-6	6	-6	6
160-200	20	170	0	0	0	0	0
180-200	11	190	1	11	11	11	11
200-200	3	210	2	6	12	24	48
220-200	2	230	3	6	18	54	162
	${N=45}$			${\总和 fd = 10}$	${\总和fd^2 = 64}$	${\总和fd^3 = 40}$	${\总和fd^4 = 330}$

由于偏差是根据假设的平均值得出的，因此我们首先计算关于任意原点的矩，然后计算关于平均值的矩。关于任意起源“170”的时刻

${\mu_1^1= \frac{\sum fd}{N} \times i = \frac{10}{45} \times 20 = 4.44 \\[7pt] \mu_2^1= \frac{\sum fd ^2}{N} \times i^2 = \frac{64}{45} \times 20^2 =568.88 \\[7pt] \mu_3^1= \frac{\sum fd^2}{N} \次 i^3 = \frac{40}{45} \times 20^3 =7111.11 \\[7pt] \mu_4^1= \frac{\sum fd^4}{N} \times i^4 = \frac {330}{45} \乘以20^4 =1173333.33 }$

关于平均数的时刻

${\mu_2 = \mu'_2 - (\mu'_1)^2 = 568.88-(4.44)^2 = 549.16 \\[7pt] \mu_3 = \mu'_3 - 3(\mu'_1)(\ mu'_2) + 2(\mu'_1)^3 \\[7pt] \, = 7111.11 - (4.44) (568.88)+ 2(4.44)^3 \\[7pt] \, = 7111.11 - 7577.48+175.05 = - 291.32 \\[7pt] \\[7pt] \mu_4= \mu'_4 - 4(\mu'_1)(\mu'_3) + 6 (\mu_1 )^2 (\mu'_2) -3 (\mu'_1)^4 \\[7pt] \, = 1173333.33 - 4 (4.44)(7111.11)+6(4.44)^2 (568.88) - 3(4.44)^4 \\[7pt] \, = 1173333.33 - 126293.31+67288.03-1165.87 \\[7pt] \, = 1113162.18 }$

根据平均值的移动值，我们现在可以计算 ${\beta_1}$ 和 ${\beta_2}$：

${\beta_1 = \mu^2_3 = \frac{(-291.32)^2}{(549.16)^3} = 0.00051 \\[7pt] \beta_2 = \frac{\mu_4}{(\mu_2)^2 } = \frac{1113162.18}{(546.16)^2} = 3.69 }$

从上面的计算可以得出，衡量偏度的${\beta_1}$几乎为零，从而表明分布几乎是对称的。${\beta_2}$ 用于测量峰度，其值大于 3，因此意味着分布是尖峰的。