统计 - Black-Scholes 模型

布莱克斯科尔斯模型是一种数学模型，用于检查股票等金融工具随时间的价格变化，可用于计算欧式看涨期权的价格。该模型假设交易量大的资产价格遵循具有恒定漂移和波动性的几何布朗运动。对于股票期权，布莱克斯科尔斯模型结合了标的股票的恒定价格变化、货币时间价值、期权的执行价格及其到期时间。

布莱克·斯科尔斯模型由费舍尔·布莱克 (Fisher Black)、罗伯特·默顿 (Robert Merton) 和迈伦·斯科尔斯 (Myron Scholes) 于 1973 年开发，至今仍广泛应用于欧洲金融市场。它提供了确定期权公平价格的最佳方法之一。

输入

Black Scholes 模型需要五个输入。

  • 期权的执行价格

  • 目前股价

  • 到期时间

  • 无风险利率

  • 挥发性

假设

Black Scholes 模型假设以下几点。

  • 股票价格遵循对数正态分布。

  • 资产价格不能为负。

  • 没有交易成本或税收。

  • 所有期限的无风险利率都是恒定的。

  • 允许利用所得款项卖空证券。

  • 不存在无风险套利机会。

公式

${ C = SN(d_1) - Ke^{-rT}Nd_2 \\[7pt] \, P = Ke^{-rT}N(-d_2) - SN(-d_1) \\[7pt] \, 其中\\[7pt] \, d_1 = \frac{1}{{\sigma \sqrt T}} [ln(\frac{S}{K}) + (r + \frac{\sigma^2}{2} T)] \\[7pt] \, d_2 = d_1 - \sigma \sqrt T }$

其中 -

  • ${C}$ = 看涨期权的价值。

  • ${P}$ = 看跌期权的价值。

  • ${S}$ = 股票价格。

  • ${K}$ = 执行价格。

  • ${r}$ = 无风险利率。

  • ${T}$ = 到期时间。

  • ${\sigma}$ = 年化波动率。

局限性

Black Scholes 模型具有以下局限性。

  • 仅适用于欧式期权，因为美式期权可以在到期前行使。

  • 恒定的股息和恒定的无风险利率可能并不现实。

  • 波动性可能会随着期权的供需水平而波动，因此恒定可能并不正确。