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一阶系统的响应


在本章中,我们讨论一阶系统的时间响应。考虑以下闭环控制系统框图。这里,开环传递函数 $\frac{1}{sT}$ 与单位负反馈连接。

统一负反馈

我们知道闭环控制系统的传递函数具有单位负反馈,

C(s)R(s)=G(s)1+G(s)

将 $G(s)=\frac{1}{sT}$ 代入上述方程中。

C(s)R(s)=1sT1+1sT=1sT+1

s 的幂是分母项中的 1。因此,上述传递函数是一阶的,并且该系统被称为一阶系统

我们可以将上面的等式重写为

C(s)=(1sT+1)R(s)

在哪里,

  • C(s)是输出信号 c(t) 的拉普拉斯变换,

  • R(s)是输入信号 r(t) 的拉普拉斯变换,并且

  • T是时间常数。

按照以下步骤获取一阶系统在时域中的响应(输出)。

  • 对输入信号 $r(t)$ 进行拉普拉斯变换。

  • 考虑方程 $C(s)=\left ( \frac{1}{sT+1} \right )R(s)$

  • 将 $R(s)$ 值代入上述方程中。

  • 如果需要,计算 $C(s)$ 的部分分数。

  • 对 $C(s)$ 应用拉普拉斯逆变换。

在上一章中,我们已经看到了脉冲、阶跃、斜坡和抛物线等标准测试信号。现在让我们逐一找出一阶系统对每个输入的响应。响应的名称根据输入信号的名称给出。例如,系统对脉冲输入的响应称为脉冲响​​应。

一阶系统的脉冲响应

单位脉冲信号视为一阶系统的输入。

所以,$r(t)=\delta(t)$

在两侧应用拉普拉斯变换。

$R(s)=1$

考虑方程 $C(s)=\left ( \frac{1}{sT+1} \right )R(s)$

将 $R(s) = 1$ 代入上式中。

C(s)=(1sT+1)(1)=1sT+1

将上述方程重新排列为拉普拉斯变换的标准形式之一。

C(s)=\frac{1}{T\left (\ s+\frac{1}{T} \right )} \Rightarrow C(s)=\frac{1}{T}\left ( \压裂{1}{s+\压裂{1}{T}} \右)

在两侧应用拉普拉斯逆变换。

c(t)=1Te(tT)u(t)

单位脉冲响应如下图所示。

单位脉冲响应

单位脉冲响应c(t) 是“t”正值时的指数衰减信号,“t”负值时为零。

一阶系统的阶跃响应

单位阶跃信号视为一阶系统的输入。

所以,$r(t)=u(t)$

在两侧应用拉普拉斯变换。

R(s)=1s

考虑方程 $C(s)=\left ( \frac{1}{sT+1} \right )R(s)$

将 $R(s)=\frac{1}{s}$ 代入上式中。

C(s)=\left ( \frac{1}{sT+1} \right )\left ( \frac{1}{s} \right )=\frac{1}{s\left ( sT+ 1 \右)}

做 C(s) 的部分分数。

C(s)=1s(sT+1)=As+BsT+1

1s(sT+1)=A(sT+1)+Bss(sT+1)

两边的分母项相同。所以,他们会被彼此取消。因此,分子项相等。

1=A\左(sT+1\右)+Bs

将两边的常数项相等,即可得到 A = 1。

代入,A = 1 并使两边s项的系数相等。

0=T+B\右B=T

将 A = 1 和 B = -T 代入 $C(s)$ 的部分分式展开式中。

C(s)=\frac{1}{s}-\frac{T}{sT+1}=\frac{1}{s}-\frac{T}{T\left ( s+\frac{ 1}{T} \右)}

C(s)=1s1s+1T

在两侧应用拉普拉斯逆变换。

c(t)=(1e(tT))u(t)

单位阶跃响应c(t) 具有瞬态项和稳态项。

单位阶跃响应中的瞬态项是 -

ctr(t)=e(tT)u(t)

单位阶跃响应中的稳态项是 -

css(t)=u(t)

下图显示了单位阶跃响应。

阶跃响应

单位阶跃响应 c(t)的值在 t = 0 时为零并且对于 t 的所有负值。它从零值逐渐增加,最终达到稳定状态的一。因此,稳态值取决于输入的大小。

一阶系统的斜坡响应

单位斜坡信号视为一阶系统的输入。

$所以,r(t)=tu(t)$

在两侧应用拉普拉斯变换。

R(s)=1s2

考虑方程 $C(s)=\left ( \frac{1}{sT+1} \right )R(s)$

将 $R(s)=\frac{1}{s^2}$ 代入上述方程中。

C(s)=(1sT+1)(1s2)=1s2(ST+1)

计算 $C(s)$ 的部分分数。

C(s)=1s2(sT+1)=As2+Bs+CsT+1

1s2(sT+1)=A(sT+1)+Bs(sT+1)+Cs2s2(sT+1)

两边的分母项相同。所以,他们会被彼此取消。因此,分子项相等。

1=A(sT+1)+Bs(sT+1)+Cs2

将两边的常数项相等,即可得到 A = 1。

代入,A = 1 并使两边 s 项的系数相等。

0=T+B\右B=T

类似地,代入 B = −T 并使两边 $s^2$ 项的系数相等。您将得到$C=T^2$。

将 A = 1、B = −T 和 $C = T^2$ 代入 $C(s)$ 的部分分式展开式中。

C(s)=1s2Ts+T2sT+1=1s2Ts+T2T(s+1T)

C(s)=1s2Ts+Ts+1T

在两侧应用拉普拉斯逆变换。

c(t)=(tT+Te(tT))u(t)

单位斜坡响应c(t) 具有瞬态项和稳态项。

单位斜坡响应中的瞬态项是 -

ctr(t)=Te(tT)u(t)

单位斜坡响应中的稳态项是 -

css(t)=(tT)u(t)

下图显示了单位斜坡响应。

斜坡响应

对于 t 的所有正值,单位斜坡响应 c(t) 遵循单位斜坡输入信号但是,输入信号存在 T 个单位的偏差。

一阶系统的抛物线响应

单位抛物线信号视为一阶系统的输入。

所以,$r(t)=\frac{t^2}{2}u(t)$

在两侧应用拉普拉斯变换。

R(s)=1s3

考虑方程 $C(s)=\left ( \frac{1}{sT+1} \right )R(s)$

将 $R(s)=\frac{1}{s^3}$ 代入上式中。

C(s)=(1sT+1)(1s3)=1s3(ST+1)

计算 $C(s)$ 的部分分数。

C(s)=1s3(sT+1)=As3+Bs2+Cs+DsT+1

化简后,A、B、C、D 的值分别为 1、$-T、\: T^2\: 和 \: −T^3$。将这些值代入上述 C(s) 的部分分数展开式中。

$C(s)=\frac{1}{s^3}-\frac{T}{s^2}+\frac{T^2}{s}-\frac{T^3}{sT+1 } \: \Rightarrow C(s)=\frac{1}{s^3}-\frac{T}{s^2}+\frac{T^2}{s}-\frac{T^2} {s+\frac{1}{T}}$

在两侧应用拉普拉斯逆变换。

c(t)=(t22Tt+T2T2e(tT))u(t)

单位抛物线响应c(t) 具有瞬态项和稳态项。

单位抛物线响应中的瞬态项是

Ctr(t)=T2e(tT)u(t)

单位抛物线响应中的稳态项是

Css(t)=(t22Tt+T2)u(t)

从这些响应中,我们可以得出结论,一阶控制系统对于斜坡和抛物线输入并不稳定,因为这些响应即使在无限长的时间内也会继续增加。一阶控制系统对于脉冲和阶跃输入是稳定的,因为这些响应具有有界输出。但是,脉冲响应没有稳态项。因此,阶跃信号在时域中被广泛使用,用于根据控制系统的响应来分析控制系统。