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一阶系统的响应
在本章中,我们讨论一阶系统的时间响应。考虑以下闭环控制系统框图。这里,开环传递函数 $\frac{1}{sT}$ 与单位负反馈连接。

我们知道闭环控制系统的传递函数具有单位负反馈,
C(s)R(s)=G(s)1+G(s)
将 $G(s)=\frac{1}{sT}$ 代入上述方程中。
C(s)R(s)=1sT1+1sT=1sT+1
s 的幂是分母项中的 1。因此,上述传递函数是一阶的,并且该系统被称为一阶系统。
我们可以将上面的等式重写为
C(s)=(1sT+1)R(s)
在哪里,
C(s)是输出信号 c(t) 的拉普拉斯变换,
R(s)是输入信号 r(t) 的拉普拉斯变换,并且
T是时间常数。
按照以下步骤获取一阶系统在时域中的响应(输出)。
对输入信号 $r(t)$ 进行拉普拉斯变换。
考虑方程 $C(s)=\left ( \frac{1}{sT+1} \right )R(s)$
将 $R(s)$ 值代入上述方程中。
如果需要,计算 $C(s)$ 的部分分数。
对 $C(s)$ 应用拉普拉斯逆变换。
在上一章中,我们已经看到了脉冲、阶跃、斜坡和抛物线等标准测试信号。现在让我们逐一找出一阶系统对每个输入的响应。响应的名称根据输入信号的名称给出。例如,系统对脉冲输入的响应称为脉冲响应。
一阶系统的脉冲响应
将单位脉冲信号视为一阶系统的输入。
所以,$r(t)=\delta(t)$
在两侧应用拉普拉斯变换。
$R(s)=1$
考虑方程 $C(s)=\left ( \frac{1}{sT+1} \right )R(s)$
将 $R(s) = 1$ 代入上式中。
C(s)=(1sT+1)(1)=1sT+1
将上述方程重新排列为拉普拉斯变换的标准形式之一。
C(s)=\frac{1}{T\left (\ s+\frac{1}{T} \right )} \Rightarrow C(s)=\frac{1}{T}\left ( \压裂{1}{s+\压裂{1}{T}} \右)
在两侧应用拉普拉斯逆变换。
c(t)=1Te(−tT)u(t)
单位脉冲响应如下图所示。

单位脉冲响应c(t) 是“t”正值时的指数衰减信号,“t”负值时为零。
一阶系统的阶跃响应
将单位阶跃信号视为一阶系统的输入。
所以,$r(t)=u(t)$
在两侧应用拉普拉斯变换。
R(s)=1s
考虑方程 $C(s)=\left ( \frac{1}{sT+1} \right )R(s)$
将 $R(s)=\frac{1}{s}$ 代入上式中。
C(s)=\left ( \frac{1}{sT+1} \right )\left ( \frac{1}{s} \right )=\frac{1}{s\left ( sT+ 1 \右)}
做 C(s) 的部分分数。
C(s)=1s(sT+1)=As+BsT+1
⇒1s(sT+1)=A(sT+1)+Bss(sT+1)
两边的分母项相同。所以,他们会被彼此取消。因此,分子项相等。
1=A\左(sT+1\右)+Bs
将两边的常数项相等,即可得到 A = 1。
代入,A = 1 并使两边s项的系数相等。
0=T+B\右箭头B=−T
将 A = 1 和 B = -T 代入 $C(s)$ 的部分分式展开式中。
C(s)=\frac{1}{s}-\frac{T}{sT+1}=\frac{1}{s}-\frac{T}{T\left ( s+\frac{ 1}{T} \右)}
⇒C(s)=1s−1s+1T
在两侧应用拉普拉斯逆变换。
c(t)=(1−e−(tT))u(t)
单位阶跃响应c(t) 具有瞬态项和稳态项。
单位阶跃响应中的瞬态项是 -
ctr(t)=−e−(tT)u(t)
单位阶跃响应中的稳态项是 -
css(t)=u(t)
下图显示了单位阶跃响应。

单位阶跃响应 c(t)的值在 t = 0 时为零并且对于 t 的所有负值。它从零值逐渐增加,最终达到稳定状态的一。因此,稳态值取决于输入的大小。
一阶系统的斜坡响应
将单位斜坡信号视为一阶系统的输入。
$所以,r(t)=tu(t)$
在两侧应用拉普拉斯变换。
R(s)=1s2
考虑方程 $C(s)=\left ( \frac{1}{sT+1} \right )R(s)$
将 $R(s)=\frac{1}{s^2}$ 代入上述方程中。
C(s)=(1sT+1)(1s2)=1s2(ST+1)
计算 $C(s)$ 的部分分数。
C(s)=1s2(sT+1)=As2+Bs+CsT+1
⇒1s2(sT+1)=A(sT+1)+Bs(sT+1)+Cs2s2(sT+1)
两边的分母项相同。所以,他们会被彼此取消。因此,分子项相等。
1=A(sT+1)+Bs(sT+1)+Cs2
将两边的常数项相等,即可得到 A = 1。
代入,A = 1 并使两边 s 项的系数相等。
0=T+B\右箭头B=−T
类似地,代入 B = −T 并使两边 $s^2$ 项的系数相等。您将得到$C=T^2$。
将 A = 1、B = −T 和 $C = T^2$ 代入 $C(s)$ 的部分分式展开式中。
C(s)=1s2−Ts+T2sT+1=1s2−Ts+T2T(s+1T)
⇒C(s)=1s2−Ts+Ts+1T
在两侧应用拉普拉斯逆变换。
c(t)=(t−T+Te−(tT))u(t)
单位斜坡响应c(t) 具有瞬态项和稳态项。
单位斜坡响应中的瞬态项是 -
ctr(t)=Te−(tT)u(t)
单位斜坡响应中的稳态项是 -
css(t)=(tT)u(t)
下图显示了单位斜坡响应。

对于 t 的所有正值,单位斜坡响应 c(t) 遵循单位斜坡输入信号。但是,输入信号存在 T 个单位的偏差。
一阶系统的抛物线响应
将单位抛物线信号视为一阶系统的输入。
所以,$r(t)=\frac{t^2}{2}u(t)$
在两侧应用拉普拉斯变换。
R(s)=1s3
考虑方程 $C(s)=\left ( \frac{1}{sT+1} \right )R(s)$
将 $R(s)=\frac{1}{s^3}$ 代入上式中。
C(s)=(1sT+1)(1s3)=1s3(ST+1)
计算 $C(s)$ 的部分分数。
C(s)=1s3(sT+1)=As3+Bs2+Cs+DsT+1
化简后,A、B、C、D 的值分别为 1、$-T、\: T^2\: 和 \: −T^3$。将这些值代入上述 C(s) 的部分分数展开式中。
$C(s)=\frac{1}{s^3}-\frac{T}{s^2}+\frac{T^2}{s}-\frac{T^3}{sT+1 } \: \Rightarrow C(s)=\frac{1}{s^3}-\frac{T}{s^2}+\frac{T^2}{s}-\frac{T^2} {s+\frac{1}{T}}$
在两侧应用拉普拉斯逆变换。
c(t)=(t22−Tt+T2−T2e−(tT))u(t)
单位抛物线响应c(t) 具有瞬态项和稳态项。
单位抛物线响应中的瞬态项是
Ctr(t)=−T2e−(tT)u(t)
单位抛物线响应中的稳态项是
Css(t)=(t22−Tt+T2)u(t)
从这些响应中,我们可以得出结论,一阶控制系统对于斜坡和抛物线输入并不稳定,因为这些响应即使在无限长的时间内也会继续增加。一阶控制系统对于脉冲和阶跃输入是稳定的,因为这些响应具有有界输出。但是,脉冲响应没有稳态项。因此,阶跃信号在时域中被广泛使用,用于根据控制系统的响应来分析控制系统。