控制系统 - 奈奎斯特图

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奈奎斯特图是极坐标图的延续，用于通过将 ω 从 -∞ 更改为 ∞ 来查找闭环控制系统的稳定性。这意味着，奈奎斯特图用于绘制开环传递函数的完整频率响应。

奈奎斯特稳定性准则

奈奎斯特稳定性准则基于论证原理。它指出，如果有 P 极点和 Z 零点被 's' 平面闭合路径包围，则相应的 $G(s)H(s)$ 平面必须环绕原点 $P − Z$ 次。因此，我们可以将包围圈数 N 写为：

$$N=PZ$$

• 如果封闭的 's' 平面闭合路径仅包含极点，则 $G(s)H(s)$ 平面中的包围方向将与 's' 平面中的封闭闭合路径的方向相反。

• 如果封闭的 's' 平面闭合路径仅包含零，则 $G(s)H(s)$ 平面中的包围方向将与 's' 中的封闭闭合路径方向相同飞机。

现在让我们将论证原理应用到 's' 平面的整个右半部分，选择它作为闭合路径。该选定路径称为奈奎斯特轮廓。

我们知道，如果闭环传递函数的所有极点都在's'平面的左半部分，则闭环控制系统是稳定的。因此，闭环传递函数的极点只不过是特征方程的根。随着特征方程阶数的增加，求根变得困难。因此，让我们将特征方程的这些根关联起来，如下所示。

• 特征方程的极点与开环传递函数的极点相同。

• 特征方程的零点与闭环传递函数的极点相同。

我们知道，如果's'平面的右半部分没有开环极点，则开环控制系统是稳定的。

即$P=0 \右箭头N=-Z$

我们知道，如果's'平面的右半部分没有闭环极点，则闭环控制系统是稳定的。

即，$Z=0 \右箭头 N=P$

奈奎斯特稳定性判据规定，围绕临界点（1+j0）的包围圈数必须等于特征方程的极点，即开环传递函数在's'平面右半部分的极点。原点向 (1+j0) 的移动给出了特征方程平面。

绘制奈奎斯特图的规则

请遵循以下规则来绘制奈奎斯特图。

• 定位开环传递函数 $G(s)H(s)$ 在 's' 平面中的极点和零点。

• 通过将 $\omega$ 从零变化到无穷大来绘制极坐标图。如果 s = 0 处存在极点或零，则将 $\omega$ 从 0+ 变化到无穷大以绘制极坐标图。

• 绘制上述极坐标图的镜像，其中 $\omega$ 的值范围从 −∞ 到零（0 ⁻如果 s=0 处存在任何极点或零）。

• 无限半径半圆的数量将等于原点处的极点或零点的数量。无限半径半圆将从极坐标图的镜像结束点开始。这个无限半径的半圆将在极坐标图开始的点结束。

绘制奈奎斯特图后，我们可以利用奈奎斯特稳定性判据求出闭环控制系统的稳定性。如果临界点(-1+j0)位于包围圈之外，则闭环控制系统绝对稳定。

使用奈奎斯特图进行稳定性分析

从奈奎斯特图中，我们可以根据这些参数的值来识别控制系统是稳定、边际稳定还是不稳定。

• 增益交叉频率和相位交叉频率
• 增益裕度和相位裕度

相位交叉频率

奈奎斯特图与负实轴（相位角为 180° ⁰）相交的频率称为相位交叉频率。它用$\omega_{pc}$表示。

增益交叉频率

奈奎斯特图的幅度为 1 的频率称为增益交叉频率。它用$\omega_{gc}$表示。

下面列出了基于相位交叉频率和增益交叉频率之间关系的控制系统的稳定性。

• 如果相位交叉频率$\omega_{pc}$大于增益交叉频率$\omega_{gc}$，则控制系统稳定。

• 如果相位交叉频率 $\omega_{pc}$ 等于增益交叉频率 $\omega_{gc}$，则控制系统是边际稳定的。

• 如果相位交叉频率$\omega_{pc}$小于增益交叉频率$\omega_{gc}$，则控制系统不稳定。

获得利润

增益裕度 $GM$ 等于相位交叉频率处奈奎斯特图幅度的倒数。

$$GM=\frac{1}{M_{pc}}$$

其中，$M_{pc}$ 是相位交叉频率处正常标度的幅度。

相位裕度

相位裕度 $PM$ 等于 180 ⁰与增益交叉频率处的相位角之和。

$$PM=180^0+\phi_{gc}$$

其中，$\phi_{gc}$ 是增益交叉频率处的相位角。

下面列出了基于增益裕度和相位裕度之间关系的控制系统的稳定性。

• 如果增益裕度 $GM$ 大于 1 并且相位裕度 $PM$ 为正，则控制系统稳定。

• 如果增益裕度 $GM$ 等于 1 并且相位裕度 $PM$ 为 0 度，则控制系统是边际稳定的。

• 如果增益裕度 $GM$ 小于 1 和/或相位裕度 $PM$ 为负，则控制系统不稳定。