SciPy - 插值

在本章中，我们将讨论插值在 SciPy 中如何发挥作用。

什么是插值？

插值是在直线或曲线上的两点之间查找值的过程。为了帮助我们记住它的含义，我们应该将单词“inter”的第一部分视为“输入”，它提醒我们查看我们最初拥有的数据的“内部”。插值这个工具不仅在统计中有用，而且在科学、商业或需要预测两个现有数据点内的值时也很有用。

让我们创建一些数据，看看如何使用scipy.interpolate包完成这种插值。

import numpy as np
from scipy import interpolate
import matplotlib.pyplot as plt
x = np.linspace(0, 4, 12)
y = np.cos(x**2/3+4)
print x,y

上述程序将生成以下输出。

(
   array([0.,  0.36363636,  0.72727273,  1.09090909,  1.45454545, 1.81818182, 
          2.18181818,  2.54545455,  2.90909091,  3.27272727,  3.63636364,  4.]),
            
   array([-0.65364362,  -0.61966189,  -0.51077021,  -0.31047698,  -0.00715476,
           0.37976236,   0.76715099,   0.99239518,   0.85886263,   0.27994201,
          -0.52586509,  -0.99582185])
)

现在，我们有两个数组。假设这两个数组是空间中点的二维，让我们使用以下程序进行绘图，看看它们是什么样子的。

plt.plot(x, y,’o’)
plt.show()

上述程序将生成以下输出。

插值法

一维插值

scipy.interpolate 中的 interp1d 类是一种基于固定数据点创建函数的便捷方法，可以使用线性插值在给定数据定义的域内的任何位置对其进行评估。

通过使用上述数据，我们创建一个插值函数并绘制一个新的插值图。

f1 = interp1d(x, y,kind = 'linear')

f2 = interp1d(x, y, kind = 'cubic')

使用 interp1d 函数，我们创建了两个函数 f1 和 f2。这些函数对于给定的输入 x 返回 y。第三个变量 kind 表示插值技术的类型。“线性”、“最近”、“零”、“线性”、“二次”、“三次”是插值的几种技术。

现在，让我们创建一个更长的新输入，以查看插值的明显差异。我们将在新数据上使用旧数据的相同功能。

xnew = np.linspace(0, 4,30)

plt.plot(x, y, 'o', xnew, f(xnew), '-', xnew, f2(xnew), '--')

plt.legend(['data', 'linear', 'cubic','nearest'], loc = 'best')

plt.show()

上述程序将生成以下输出。

一维插值

样条曲线

为了通过数据点绘制平滑的曲线，绘图人员曾经使用称为机械样条的柔性细木条、硬橡胶、金属或塑料条。为了使用机械花键，将销钉放置在设计中沿曲线明智选择的点上，然后弯曲花键，使其接触每个销钉。

显然，通过这种结构，样条曲线在这些引脚处对曲线进行插值。它可以用来重现其他图纸中的曲线。销钉所在的点称为结。我们可以通过调整结的位置来改变样条定义的曲线的形状。

单变量样条

一维平滑样条拟合一组给定的数据点。scipy.interpolate 中的 UnivariateSpline 类是基于固定数据点类创建函数的便捷方法 - scipy.interpolate.UnivariateSpline(x, y, w = None, bbox = [None, None], k = 3, s = 无，ext = 0，check_finite = False）。

参数- 以下是单变量样条的参数。

  • 这将 k 次样条 y = spl(x) 拟合到提供的 x, y 数据。

  • 'w' - 指定样条拟合的权重。必须是积极的。如果没有（默认），则权重全部相等。

  • 's' - 通过指定平滑条件来指定结数。

  • 'k' - 平滑样条的次数。必须 <= 5。默认值为 k = 3，三次样条。

  • Ext - 控制不在结序列定义的间隔内的元素的外推模式。

    • 如果 ext = 0 或“外推”，则返回外推值。

    • 如果 ext = 1 或“零”，则返回 0

    • 如果 ext = 2 或 'raise'，则引发 ValueError

    • 如果 ext = 3 of 'const'，则返回边界值。

  • check_finite – 是否检查输入数组是否仅包含有限数字。

让我们考虑下面的例子。

import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.interpolate import UnivariateSpline
x = np.linspace(-3, 3, 50)
y = np.exp(-x**2) + 0.1 * np.random.randn(50)
plt.plot(x, y, 'ro', ms = 5)
plt.show()

使用平滑参数的默认值。

样条曲线 
spl = UnivariateSpline(x, y)
xs = np.linspace(-3, 3, 1000)
plt.plot(xs, spl(xs), 'g', lw = 3)
plt.show()

手动更改平滑量。

样条平滑 
spl.set_smoothing_factor(0.5)
plt.plot(xs, spl(xs), 'b', lw = 3)
plt.show()
样条平滑