弗里德曼方程和世界模型

在本章中，我们将了解弗里德曼方程是什么，并详细研究不同曲率常数的世界模型。

弗里德曼方程

这个方程告诉我们宇宙的均匀和各向同性模型中的空间膨胀。

$$\left ( \frac{\dot{a}}{a} \right )^2 = \frac{8\pi G}{3}\rho + \frac{2U}{mr_c^2a^2}$ $

在广义相对论（GR）和罗伯逊-沃克度量的背景下对此进行了如下修改。

使用 GR 方程 -

$$\frac{2U}{mr_c^2} = -kc^2$$

其中k是曲率常数。所以，

$$\left ( \frac{\dot{a}}{a} \right )^2 = \frac{8 \pi G}{3}\rho - \frac{kc^2}{a^2}$ $

此外，$\rho$ 被能量密度取代，能量密度包括物质、辐射和任何其他形式的能量。但出于表述目的，将其写为$\rho$。

现在让我们看看根据曲率常数值的各种可能性。

对于膨胀的宇宙，$da/dt > 0$。随着展开的继续，上式右侧的第一项为 $a^{-3}$，而第二项为 $a^{-2}$。当这两项变得相等时，宇宙停止膨胀。然后 -

$$\frac{8 \pi G}{3}\rho = \frac{kc^2}{a^2}$$

这里，k=1，因此，

$$a = \left [ \frac{3c^2}{8 \pi G\rho} \right ]^{\frac{1}{2}}$$

这样的宇宙是有限的并且具有有限的体积。这称为封闭宇宙。

如果k < 0，扩张将永远不会停止。在某个时间点之后，与第二项相比，RHS 上的第一项可以忽略不计。

这里，k = -1。因此，$da/dt ∼ c$。

在这种情况下，宇宙正在滑行。这样的宇宙有无限的空间和时间。这就是所谓的开放宇宙。

在这种情况下，宇宙正在以递减的速度膨胀。这里，k = 0。因此，

$$\left ( \frac{\dot{a}}{a} \right )^2 = \frac{8\pi G}{3}\rho$$

这样的宇宙有无限的空间和时间。这就是所谓的平坦宇宙。