收敛区域 (ROC)

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拉普拉斯变换收敛的 σ 的范围变化称为收敛区域。

拉普拉斯变换的ROC性质

• ROC 包含 s 平面中平行于 jω 轴的带状线。

  

• 如果 x(t) 是绝对积分且具有有限持续时间，则 ROC 是整个 s 平面。

• 如果 x(t) 是右侧序列，则 ROC : Re{s} > σ _o。

• 如果 x(t) 是左侧序列，则 ROC : Re{s} < σ _o。

• 如果 x(t) 是两侧序列，则 ROC 是两个区域的组合。

ROC 可以通过使用下面给出的示例来解释：

示例 1：求 $x(t) = e-^{at}u(t)$ 的拉普拉斯变换和 ROC

$LT[x(t)] = LT[e-^{at}u(t)] = {1 \over S+a}$

$ Re{} \gt -a $

$ ROC:Re{s} \gt >-a$

示例 2：求 $x(t) = e^{at}u(-t)$ 的拉普拉斯变换和 ROC

$ LT[x(t)] = LT[e^{at}u(t)] = {1 \over Sa} $

$ Re{s} < a $

$ ROC: Re{s} < a $

示例 3：求 $x(t) = e^{-at}u(t)+e^{at}u(-t)$ 的拉普拉斯变换和 ROC

$LT[x(t)] = LT[e^{-at}u(t)+e^{at}u(-t)] = {1 \over S+a} + {1 \over Sa}$

对于 ${1 \over S+a} Re\{s\} \gt -a $

对于 ${1 \over Sa} Re\{s\} \lt a $

参考上图，组合区域是从-a到a。因此，

$ ROC: -a < Re{s} < a $

因果关系和稳定性

• 对于因果系统，其传递函数的所有极点必须位于 s 平面的右半部分。

  

• 当系统传递函数的所有极点都位于 s 平面的左半部分时，系统被认为是稳定的。

  

• 当系统的传递函数的至少一个极点移动到 s 平面的右半部分时，系统被认为是不稳定的。

  

• 当系统的传递函数的至少一个极点位于 s 平面的 jω 轴上时，系统被认为是边际稳定的。

  

基本功能ROC