MATLAB - 代数


到目前为止,我们已经看到所有示例都可以在 MATLAB 及其 GNU(也称为 Octave)中运行。但对于求解基本代数方程,MATLAB 和 Octave 几乎没有什么不同,因此我们将尝试在不同的部分中介绍 MATLAB 和 Octave。

我们还将讨论代数表达式的因式分解和化简。

在 MATLAB 中求解基本代数方程

求解函数用于求解代数方程在最简单的形式中,求解函数将用引号引起来的方程作为参数。

例如,让我们求解方程 x-5 = 0 中的 x

solve('x-5=0')

MATLAB 将执行上述语句并返回以下结果 -

ans =
   5

您还可以将求解函数称为 -

y = solve('x-5 = 0')

MATLAB 将执行上述语句并返回以下结果 -

y =
   5

您甚至可能不包括等式的右侧 -

solve('x-5')

MATLAB 将执行上述语句并返回以下结果 -

ans =
   5

如果方程涉及多个符号,则 MATLAB 默认假定您正在求解 x,但是,求解函数具有另一种形式 -

solve(equation, variable)

其中,您还可以提及变量。

例如,让我们解方程 v – u – 3t 2 = 0,对于 v。在这种情况下,我们应该写 -

solve('v-u-3*t^2=0', 'v')

MATLAB 将执行上述语句并返回以下结果 -

ans =
   3*t^2 + u

用 Octave 求解基本代数方程

根函数用于求解 Octave 中的代数方程,您可以将上面的示例编写如下-

例如,让我们求解方程 x-5 = 0 中的 x

roots([1, -5])

Octave 将执行上述语句并返回以下结果 -

ans = 5

您还可以将求解函数称为 -

y = roots([1, -5])

Octave 将执行上述语句并返回以下结果 -

y = 5

在 MATLAB 中求解二次方程

求解函数还可以求解高阶方程。它经常用于求解二次方程。该函数以数组形式返回方程的根。

以下示例求解二次方程 x 2 -7x +12 = 0。创建一个脚本文件并键入以下代码 -

eq = 'x^2 -7*x + 12 = 0';
s = solve(eq);
disp('The first root is: '), disp(s(1));
disp('The second root is: '), disp(s(2));

当您运行该文件时,它会显示以下结果 -

The first root is: 
   3
The second root is: 
   4

解八度二次方程

以下示例在 Octave 中求解二次方程 x 2 -7x +12 = 0。创建一个脚本文件并输入以下代码 -

s = roots([1, -7, 12]);

disp('The first root is: '), disp(s(1));
disp('The second root is: '), disp(s(2));

当您运行该文件时,它会显示以下结果 -

The first root is: 
   4
The second root is: 
   3

在 MATLAB 中求解高阶方程

求解函数还可以求解高阶方程。例如,我们将三次方程解为 (x-3) 2 (x-7) = 0

solve('(x-3)^2*(x-7)=0')

MATLAB 将执行上述语句并返回以下结果 -

ans =
   3
   3
   7

对于高阶方程,根很长,包含许多项。您可以通过将这些根转换为双精度来获得它们的数值。以下示例求解四阶方程 x 4 − 7x 3 + 3x 2 − 5x + 9 = 0。

创建一个脚本文件并输入以下代码 -

eq = 'x^4 - 7*x^3 + 3*x^2 - 5*x + 9 = 0';
s = solve(eq);
disp('The first root is: '), disp(s(1));
disp('The second root is: '), disp(s(2));
disp('The third root is: '), disp(s(3));
disp('The fourth root is: '), disp(s(4));

% converting the roots to double type
disp('Numeric value of first root'), disp(double(s(1)));
disp('Numeric value of second root'), disp(double(s(2)));
disp('Numeric value of third root'), disp(double(s(3)));
disp('Numeric value of fourth root'), disp(double(s(4)));

当您运行该文件时,它会返回以下结果 -

The first root is: 
6.630396332390718431485053218985
 The second root is: 
1.0597804633025896291682772499885
 The third root is: 
- 0.34508839784665403032666523448675 - 1.0778362954630176596831109269793*i
 The fourth root is: 
- 0.34508839784665403032666523448675 + 1.0778362954630176596831109269793*i
Numeric value of first root
   6.6304
Numeric value of second root
   1.0598
Numeric value of third root
   -0.3451 - 1.0778i
Numeric value of fourth root
   -0.3451 + 1.0778i

请注意,最后两个根是复数。

求解 Octave 中的高阶方程

以下示例求解四阶方程 x 4 − 7x 3 + 3x 2 − 5x + 9 = 0。

创建一个脚本文件并输入以下代码 -

v = [1, -7,  3, -5, 9];
s = roots(v);

% converting the roots to double type
disp('Numeric value of first root'), disp(double(s(1)));
disp('Numeric value of second root'), disp(double(s(2)));
disp('Numeric value of third root'), disp(double(s(3)));
disp('Numeric value of fourth root'), disp(double(s(4)));

当您运行该文件时,它会返回以下结果 -

Numeric value of first root
 6.6304
Numeric value of second root
-0.34509 + 1.07784i
Numeric value of third root
-0.34509 - 1.07784i
Numeric value of fourth root
 1.0598

在 MATLAB 中求解方程组

求解函数还可用于生成涉及多个变量的方程组的解让我们举一个简单的例子来演示这种用法。

让我们解方程 -

5x + 9y = 5

3x – 6y = 4

创建一个脚本文件并输入以下代码 -

s = solve('5*x + 9*y = 5','3*x - 6*y = 4');
s.x
s.y

当您运行该文件时,它会显示以下结果 -

ans =
   22/19
ans =
   -5/57

以同样的方式,您可以解决更大的线性系统。考虑以下方程组 -

x + 3y -2z = 5

3x + 5y + 6z = 7

2x + 4y + 3z = 8

求解 Octave 方程组

我们有一个稍微不同的方法来求解“n”个未知数中的“n”个线性方程组。让我们举一个简单的例子来演示这种用法。

让我们解方程 -

5x + 9y = 5

3x – 6y = 4

这样的线性方程组可以写为单矩阵方程 Ax = b,其中 A 是系数矩阵,b 是包含线性方程右侧的列向量,x 是表示解的列向量:如下面的程序所示 -

创建一个脚本文件并输入以下代码 -

A = [5, 9; 3, -6];
b = [5;4];
A \ b

当您运行该文件时,它会显示以下结果 -

ans =

   1.157895
  -0.087719

以同样的方式,您可以解决更大的线性系统,如下所示 -

x + 3y -2z = 5

3x + 5y + 6z = 7

2x + 4y + 3z = 8

在 MATLAB 中展开和收集方程

Expand和collect函数分别扩展和收集方程。以下示例演示了这些概念 -

当您使用许多符号函数时,您应该声明变量是符号的。

创建一个脚本文件并输入以下代码 -

syms x   %symbolic variable x
syms y   %symbolic variable x
% expanding equations
expand((x-5)*(x+9))
expand((x+2)*(x-3)*(x-5)*(x+7))
expand(sin(2*x))
expand(cos(x+y))
 
% collecting equations
collect(x^3 *(x-7))
collect(x^4*(x-3)*(x-5))

当您运行该文件时,它会显示以下结果 -

ans =
   x^2 + 4*x - 45
ans =
   x^4 + x^3 - 43*x^2 + 23*x + 210
ans =
   2*cos(x)*sin(x)
ans =
   cos(x)*cos(y) - sin(x)*sin(y)
ans =
   x^4 - 7*x^3
ans =
   x^6 - 8*x^5 + 15*x^4

在 Octave 中展开和收集方程

您需要有符号包,它提供了expandcollect函数,分别用于展开和收集方程。以下示例演示了这些概念 -

当您使用许多符号函数时,您应该声明变量是符号的,但 Octave 有不同的方法来定义符号变量。请注意SinCos的使用,它们也在符号包中定义。

创建一个脚本文件并输入以下代码 -

% first of all load the package, make sure its installed.
pkg load symbolic

% make symbols module available
symbols

% define symbolic variables
x = sym ('x');
y = sym ('y');
z = sym ('z');

% expanding equations
expand((x-5)*(x+9))
expand((x+2)*(x-3)*(x-5)*(x+7))
expand(Sin(2*x))
expand(Cos(x+y))
 
% collecting equations
collect(x^3 *(x-7), z)
collect(x^4*(x-3)*(x-5), z)

当您运行该文件时,它会显示以下结果 -

ans =

-45.0+x^2+(4.0)*x
ans =

210.0+x^4-(43.0)*x^2+x^3+(23.0)*x
ans =

sin((2.0)*x)
ans =

cos(y+x)
ans =

x^(3.0)*(-7.0+x)
ans =

(-3.0+x)*x^(4.0)*(-5.0+x)

代数表达式的因式分解和化简

Factor函数表达式进行因式分解,simplify函数对表达式进行简化。下面的例子演示了这个概念 -

例子

创建一个脚本文件并输入以下代码 -

syms x
syms y
factor(x^3 - y^3)
factor([x^2-y^2,x^3+y^3])
simplify((x^4-16)/(x^2-4))

当您运行该文件时,它会显示以下结果 -

ans =
   (x - y)*(x^2 + x*y + y^2)
ans =
   [ (x - y)*(x + y), (x + y)*(x^2 - x*y + y^2)]
ans =
   x^2 + 4