DSP - DFT 线性滤波

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DFT 提供了时域卷积的另一种方法。它可用于在频域中执行线性滤波。

因此，$Y(\omega) = X(\omega).H(\omega)\longleftrightarrow y(n)$。

这种频域方法的问题在于 $Y(\omega)$、$X(\omega)$ 和 $H(\omega)$ 是 ω 的连续函数，这对于计算机上的数字计算来说效果不佳。然而，DFT 提供了这些波形的采样版本来解决这个问题。

优点是，与时域方法相比，了解更快的 DFT 技术（例如 FFT），可以为数字计算机计算开发计算效率更高的算法。

考虑有限持续时间序列 $[x(n) = 0,\quad for,n<0\quad 和 \quad n\geq L]$ （广义方程），激励具有脉冲响应 $[h(n) 的线性滤波器) = 0,\quad forn<0\quad 和\quad n\geq M]$。

$$x(n)y(n)$$ $$输出 = y(n) = \sum_{k = 0}^{M-1}h(k).x(nk)$$

从卷积分析可以看出，y(n)的持续时间为L+M−1。

在频域中，

$$Y(\omega) = X(\omega).H(\omega)$$

现在，$Y(\omega)$ 是 ω 的连续函数，它以一组离散频率采样，不同样本的数量必须等于或超过 $L+M-1$。

$$DFT\四边形大小 = N\geq L+M-1$$

设 $\omega = \frac{2\pi}{N}k$,

$Y(\omega) = X(k).H(k)$，其中 k=0,1,….,N-1

其中，X(k)和H(k)分别是x(n)和h(n)的N点DFT。$x(n)\& h(n)$ 用零填充，直到长度为 N。它不会扭曲连续光谱 $X(\omega)$ 和 $H(\omega)$。由于 $N\geq L+M-1$，输出序列 y(n) 的 N 点 DFT 足以在频域中表示 y(n)，这些事实推断 X(k) 的 N 点 DFT 的乘法) 和 H(k)，然后计算 N 点 IDFT 必须产生 y(n)。

这意味着，x(n) 和 H(n) 零填充的 N 点循环卷积等于 x(n) 和 h(n) 的线性卷积。

因此，DFT可以用于线性滤波。

注意- N 应始终大于或等于 $L+M-1$。否则，混叠效应会破坏输出序列。