数字电路 - 布尔代数

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布尔代数是一种处理二进制数和二进制变量的代数。因此，它也被称为二元代数或逻辑代数。一位名叫乔治·布尔 (George Boole) 的数学家于 1854 年发展了这个代数。这个代数中使用的变量也称为布尔变量。

对应于逻辑“高”的电压范围用“1”表示，对应于逻辑“低”的电压范围用“0”表示。

布尔代数的假设和基本定律

在本节中，让我们讨论布尔代数中使用的布尔假设和基本定律。这些对于最小化布尔函数很有用。

布尔假设

考虑二进制数 0 和 1、布尔变量 (x) 及其补码 (x')。布尔变量或其补码称为文字。这些文字和二进制数之间的四种可能的逻辑或运算如下所示。

x + 0 = x

x + 1 = 1

x + x = x

x + x' = 1

同样，这些文字和二进制数之间的四种可能的逻辑与运算如下所示。

x.1 = x

x.0 = 0

xx=x

x.x' = 0

这些是简单的布尔假设。我们可以通过用“0”或“1”替换布尔变量来轻松验证这些假设。

注意- 任何布尔变量的补码等于变量本身。即(x')'=x。

布尔代数基本定律

以下是布尔代数的三个基本定律。

• 交换律
• 结合律
• 分配律

交换律

如果两个布尔变量的任何逻辑运算给出相同的结果，而不管这两个变量的顺序如何，则该逻辑运算被称为可交换的。两个布尔变量x&y的逻辑或&逻辑与运算如下所示

x + y = y + x

xy = yx

符号“+”表示逻辑或运算。同样，符号“.” 表示逻辑与运算，可任意表示。逻辑“或”和逻辑“与”运算遵循交换律。

结合律

如果首先对任意两个布尔变量执行逻辑运算，然后对其余变量执行相同的运算，得到相同的结果，则该逻辑运算称为关联逻辑运算。三个布尔变量 x、y 和 z 的逻辑 OR 和逻辑 AND 运算如下所示。

x + (y + z) = (x + y) + z

x.(yz) = (xy).z

逻辑“或”和逻辑“与”运算遵循结合律。

分配法

如果任何逻辑运算可以分布到布尔函数中存在的所有项，则该逻辑运算被称为“分布式”。三个布尔变量x、y和z的逻辑OR和逻辑AND运算的分布如下所示。

x.(y + z) = xy + xz

x + (yz) = (x + y).(x + z)

逻辑“或”和逻辑“与”运算遵循分配律。

这些是布尔代数的基本定律。我们可以通过用“0”或“1”替换布尔变量来轻松验证这些定律。

布尔代数定理

布尔代数中使用以下两个定理。

• 对偶定理
• 德摩根定理

对偶定理

该定理指出，布尔函数的对偶是通过将逻辑 AND 运算符与逻辑 OR 运算符互换以及将 0 与 1 互换而获得的。对于每个布尔函数，都会有一个对应的 Dual 函数。

让我们将在布尔公设和基本定律部分中讨论的布尔方程（关系）分为两组。下表显示了这两组。

每行有两个布尔方程，它们互为对偶。我们可以利用对偶定理来验证 Group1 和 Group2 的所有布尔方程。

德摩根定理

该定理对于求布尔函数的补集很有用。它指出至少两个布尔变量的逻辑或的补等于每个被补变量的逻辑与。

具有 2 个布尔变量 x 和 y 的德摩根定理可以表示为

(x + y)' = x'.y'

上述布尔函数的对偶是

(xy)' = x' + y'

因此，两个布尔变量的逻辑与的补等于每个被补变量的逻辑或。类似地，我们也可以将德摩根定理应用于 2 个以上的布尔变量。

布尔函数的简化

到目前为止，我们讨论了布尔代数的假设、基本定律和定理。现在，让我们简化一些布尔函数。

实施例1

让我们简化布尔函数，f = p'qr + pq'r + pqr' + pqr

我们可以用两种方法简化这个函数。

方法一

给定布尔函数，f = p'qr + pq'r + pqr' +pqr。

步骤 1 - 在第一项和第二项中 r 是公共的，在第三项和第四项中 pq 是公共的。因此，利用分配律来获取常用项。

⇒ f = (p'q + pq')r + pq(r' + r)

步骤 2 - 第一个括号中的术语可以简化为异或运算。使用布尔假设可以将第二个括号中的项简化为“1”

⇒ f = (p ⊕q)r + pq(1)

步骤 3 - 第一项无法进一步简化。但是，第二项可以使用布尔假设简化为 pq 。

⇒ f = (p ⊕q)r + pq

因此，简化的布尔函数为f = (p⊕q)r + pq

方法2

给定布尔函数，f = p'qr + pq'r + pqr' + pqr。

步骤 1 - 使用布尔假设, x + x = x。这意味着，任何布尔变量的逻辑或运算“n”次将等于同一个变量。因此，我们可以将最后一项 pqr 再写两次。

⇒ f = p'qr + pq'r + pqr' + pqr + pqr + pqr

步骤 2 -对第 1^项和第 4^项、第 2^项和第 5^项、第 3^项和第 6^项使用分配律。

⇒ f = qr(p' + p) + pr(q' + q) + pq(r' + r)

步骤 3 - 使用布尔假设, x + x' = 1 来简化每个括号中出现的术语。

⇒ f = qr(1) + pr(1) + pq(1)

步骤 4 - 使用布尔假设, x.1 = x 来简化上述三项。

⇒ f = qr + pr + pq

⇒ f = pq + qr + pr

因此，简化的布尔函数为f = pq + qr + pr。

因此，在每个方法中简化给定的布尔函数后，我们得到了两个不同的布尔函数。从功能上来说，这两个布尔函数是相同的。因此，根据需要，我们可以选择这两个布尔函数之一。

实施例2

让我们求布尔函数的补集，f = p'q + pq'。

布尔函数的补码是f' = (p'q + pq')'。

步骤 1 - 使用德摩根定理 (x + y)' = x'.y'。

⇒ f' = (p'q)'.(pq')'

步骤 2 - 使用德摩根定理，(xy)' = x' + y'

⇒ f' = {(p')' + q'}.{p' + (q')'}

Step3 - 使用布尔假设，(x')'=x。

⇒ f' = {p + q'}.{p' + q}

⇒ f' = pp' + pq + p'q' + qq'

步骤 4 - 使用布尔假设，xx'=0。

⇒ f = 0 + pq + p'q' + 0

⇒ f = pq + p'q'

因此，布尔函数 p'q + pq' 的补是pq + p'q'。