数据结构-表达式解析

编写算术表达式的方式称为符号。算术表达式可以用三种不同但等效的符号来编写，即不改变表达式的本质或输出。这些符号是 -

中缀表示法
前缀（波兰语）表示法
后缀（逆波兰）表示法

这些符号根据它们在表达式中使用运算符的方式来命名。我们将在本章中学到同样的内容。

中缀表示法

我们用中缀表示法编写表达式，例如 a - b + c，其中运算符用在操作数之间。对于我们人类来说，用中缀表示法阅读、书写和说话很容易，但计算设备却不太适用。处理中缀表示法的算法在时间和空间消耗方面可能很困难且成本高昂。

前缀表示法

在这种表示法中，运算符是操作数的前缀，即运算符写在操作数之前。例如，+ab。这相当于它的中缀表示法a + b。前缀表示法也称为波兰表示法。

后缀表示法

这种表示法称为逆波兰表示法。在这种表示法中，运算符被添加到操作数的后缀，即运算符写在操作数之后。例如，ab+。这相当于它的中缀表示法a + b。

下表简要地尝试显示所有三种符号的差异 -

先生。	中缀表示法	前缀表示法	后缀表示法
1	a+b	+ ab	ab+
2	(a + b) * c	＊ + abc	ab+c*
3	a*(b+c)	* a+bc	abc + *
4	a / b + c / d	+ / ab / cd	ab/cd/+
5	(a + b) * (c + d)	＊ + ab + cd	ab+cd+*
6	((a + b) * c) - d	- * + abcd	ab + c * d -

解析表达式

正如我们所讨论的，设计解析中缀符号的算法或程序并不是一种非常有效的方法。相反，这些中缀符号首先被转换为后缀或前缀符号，然后进行计算。

要解析任何算术表达式，我们还需要注意运算符优先级和结合性。

优先级

当一个操作数位于两个不同的运算符之间时，哪个运算符将首先获取该操作数，由一个运算符相对于其他运算符的优先级决定。例如 -

由于乘法运算优先于加法运算，因此 b * c 将首先被计算。稍后提供运算符优先级表。

关联性

结合性描述了具有相同优先级的运算符出现在表达式中的规则。例如，在表达式 a + b − c 中，+ 和 – 具有相同的优先级，那么表达式的哪一部分将首先被计算，由这些运算符的结合性决定。这里， + 和 − 都是左关联的，因此表达式将被计算为(a + b) − c。

优先级和关联性决定表达式的求值顺序。以下是运算符优先级和结合性表（从最高到最低） -

先生。	操作员	优先级	关联性
1	求幂^	最高	右结合
2	乘法 ( * ) & 除法 ( / )	第二高	左联想
3	加法 (+) 和减法 (−)	最低	左联想

上表显示了运算符的默认Behave。在表达式求值的任何时间点，都可以使用括号更改顺序。例如 -

在a + b*c中，将首先计算表达式部分b * c ，乘法优先于加法。我们在这里使用括号首先对a + b进行求值，例如(a + b)*c。

Postfix评估算法

我们现在将看看如何评估后缀表示法的算法 -

Step 1 − scan the expression from left to right 
Step 2 − if it is an operand push it to stack 
Step 3 − if it is an operator pull operand from stack and perform operation 
Step 4 − store the output of step 3, back to stack 
Step 5 − scan the expression until all operands are consumed 
Step 6 − pop the stack and perform operation

完成实施

C C++ Java Python

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<ctype.h>
//char stack
char stack[25]; 
int top = -1; 
void push(char item) {
   stack[++top] = item; 
} 
char pop() {
   return stack[top--]; 
} 
//returns precedence of operators
int precedence(char symbol) {
   switch(symbol) {
      case '+': 
      case '-':
         return 2; 
         break; 
      case '*': 
      case '/':
         return 3; 
         break; 
      case '^': 
         return 4; 
         break; 
      case '(': 
      case ')': 
      case '#':
         return 1; 
         break; 
   } 
} 

//check whether the symbol is operator?
int isOperator(char symbol) {

   switch(symbol) {
      case '+': 
      case '-': 
      case '*': 
      case '/': 
      case '^': 
      case '(': 
      case ')':
         return 1; 
      break; 
         default:
         return 0; 
   } 
} 

//converts infix expression to postfix
void convert(char infix[],char postfix[]) {
   int i,symbol,j = 0; 
   stack[++top] = '#'; 
	
   for(i = 0;i<strlen(infix);i++) {
      symbol = infix[i]; 
		
      if(isOperator(symbol) == 0) {
         postfix[j] = symbol; 
         j++; 
      } else {
         if(symbol == '(') {
            push(symbol); 
         } else {
            if(symbol == ')') {
				
               while(stack[top] != '(') {
                  postfix[j] = pop(); 
                  j++; 
               } 
					
               pop();   //pop out (. 
            } else {
               if(precedence(symbol)>precedence(stack[top])) {
                  push(symbol); 
               } else {
					
                  while(precedence(symbol)<=precedence(stack[top])) {
                     postfix[j] = pop(); 
                     j++; 
                  } 
						
                  push(symbol); 
               }
            }
         }
      }
   }
	
   while(stack[top] != '#') {
      postfix[j] = pop(); 
      j++; 
   } 
	
   postfix[j]='\0';  //null terminate string. 
} 

//int stack
int stack_int[25]; 
int top_int = -1; 

void push_int(int item) {
   stack_int[++top_int] = item; 
} 

char pop_int() {
   return stack_int[top_int--]; 
} 

//evaluates postfix expression
int evaluate(char *postfix){

   char ch;
   int i = 0,operand1,operand2;

   while( (ch = postfix[i++]) != '\0') {
	
      if(isdigit(ch)) {
         push_int(ch-'0');  // Push the operand 
      } else {
         //Operator,pop two  operands 
         operand2 = pop_int();
         operand1 = pop_int();
			
         switch(ch) {
            case '+':
               push_int(operand1+operand2);
               break;
            case '-':
               push_int(operand1-operand2);
               break;
            case '*':
               push_int(operand1*operand2);
               break;
            case '/':
               push_int(operand1/operand2);
               break;
         }
      }
   }
	
   return stack_int[top_int];
}

void main() { 
   char infix[25] = "1*(2+3)",postfix[25]; 
   convert(infix,postfix); 
	
   printf("Infix expression is: %s\n" , infix);
   printf("Postfix expression is: %s\n" , postfix);
   printf("Evaluated expression is: %d\n" , evaluate(postfix));
}

输出

Infix expression is: 1*(2+3)
Postfix expression is: 123+*
Evaluated expression is: 5

// C++ Code for Expression Parsing Using Stack
#include <iostream>
#include <string>
#include <cctype>
#include <stack>
// char stack
std::stack<char> stack;

void push(char item) {
    stack.push(item);
}
char pop() {
    char top = stack.top();
    stack.pop();
    return top;
}
// returns precedence of operators
int precedence(char symbol) {
    switch(symbol) {
        case '+':
        case '-':
            return 2;
        case '*':
        case '/':
            return 3;
        case '^':
            return 4;
        case '(':
        case ')':
        case '#':
            return 1;
    }
    return 0;
}
// check whether the symbol is an operator
int isOperator(char symbol) {
    switch(symbol) {
        case '+':
        case '-':
        case '*':
        case '/':
        case '^':
        case '(':
        case ')':
            return 1;
        default:
            return 0;
    }
}
// converts infix expression to postfix
void convert(const std::string& infix, std::string& postfix) {
    int j = 0;
    stack.push('#');
    for (char symbol : infix) {
        if (isOperator(symbol) == 0) {
            postfix += symbol;
            j++;
        } else {
            if (symbol == '(') {
                push(symbol);
            } else {
                if (symbol == ')') {
                    while (stack.top() != '(') {
                        postfix += pop();
                        j++;
                    }
                    stack.pop(); // pop out '('
                } else {
                    if (precedence(symbol) > precedence(stack.top())) {
                        push(symbol);
                    } else {
                        while (precedence(symbol) <= precedence(stack.top())) {
                            postfix += pop();
                            j++;
                        }
                        push(symbol);
                    }
                }
            }
        }
    }

    while (stack.top() != '#') {
        postfix += pop();
        j++;
    }

    postfix[j] = '\0'; // null terminate string
}
// evaluates postfix expression
int evaluate(const std::string& postfix) {
    std::stack<int> stack_int;
    int operand1, operand2;
    for (char ch : postfix) {
        if (std::isdigit(ch)) {
            stack_int.push(ch - '0'); // Push the operand
        } else {
            // Operator, pop two operands
            operand2 = stack_int.top();
            stack_int.pop();
            operand1 = stack_int.top();
            stack_int.pop();
            switch (ch) {
                case '+':
                    stack_int.push(operand1 + operand2);
                    break;
                case '-':
                    stack_int.push(operand1 - operand2);
                    break;
                case '*':
                    stack_int.push(operand1 * operand2);
                    break;
                case '/':
                    stack_int.push(operand1 / operand2);
                    break;
            }
        }
    }
    return stack_int.top();
}
int main() {
    std::string infix = "1*(2+3)", postfix;
    convert(infix, postfix);
    std::cout << "Infix expression is: " << infix << std::endl;
    std::cout << "Postfix expression is: " << postfix << std::endl;
    std::cout << "Evaluated expression is: " << evaluate(postfix) << std::endl;
    return 0;
}

输出

Infix expression is: 1*(2+3)
Postfix expression is: 123+*
Evaluated expression is: 5

// Java Code for Expression Parsing Using Stack
import java.util.Stack;
public class Main {
    // char stack
    static Stack<Character> stack = new Stack<>();
    static void push(char item) {
        stack.push(item);
    }
    static char pop() {
        return stack.pop();
    }
    // returns precedence of operators
    static int precedence(char symbol) {
        switch (symbol) {
            case '+':
            case '-':
                return 2;
            case '*':
            case '/':
                return 3;
            case '^':
                return 4;
            case '(':
            case ')':
            case '#':
                return 1;
        }
        return 0;
    }
    // check whether the symbol is an operator
    static int isOperator(char symbol) {
        switch (symbol) {
            case '+':
            case '-':
            case '*':
            case '/':
            case '^':
            case '(':
            case ')':
                return 1;
            default:
                return 0;
        }
    }
    // converts infix expression to postfix
    static void convert(String infix, StringBuilder postfix) {
        int j = 0;
        stack.push('#');
        for (char symbol : infix.toCharArray()) {
            if (isOperator(symbol) == 0) {
                postfix.append(symbol);
                j++;
            } else {
                if (symbol == '(') {
                    push(symbol);
                } else {
                    if (symbol == ')') {
                        while (stack.peek() != '(') {
                            postfix.append(pop());
                            j++;
                        }
                        stack.pop(); // pop out '('
                    } else {
                        if (precedence(symbol) > precedence(stack.peek())) {
                            push(symbol);
                        } else {
                            while (precedence(symbol) <= precedence(stack.peek())) {
                                postfix.append(pop());
                                j++;
                            }
                            push(symbol);
                        }
                    }
                }
            }
        }
        while (stack.peek() != '#') {
            postfix.append(pop());
            j++;
        }
    }
    // evaluates postfix expression
    static int evaluate(String postfix) {
        Stack<Integer> stackInt = new Stack<>();
        int operand1, operand2;
        for (char ch : postfix.toCharArray()) {
            if (Character.isDigit(ch)) {
                stackInt.push(ch - '0'); // Push the operand
            } else {
                // Operator, pop two operands
                operand2 = stackInt.pop();
                operand1 = stackInt.pop();
                switch (ch) {
                    case '+':
                        stackInt.push(operand1 + operand2);
                        break;
                    case '-':
                        stackInt.push(operand1 - operand2);
                        break;
                    case '*':
                        stackInt.push(operand1 * operand2);
                        break;
                    case '/':
                        stackInt.push(operand1 / operand2);
                        break;
                }
            }
        }
        return stackInt.peek();
    }
    public static void main(String[] args) {
        String infix = "1*(2+3)";
        StringBuilder postfix = new StringBuilder();
        convert(infix, postfix);
        System.out.println("Infix expression is: " + infix);
        System.out.println("Postfix expression is: " + postfix);
        System.out.println("Evaluated expression is: " + evaluate(postfix.toString()));
    }
}

< h3>输出

Infix expression is: 1*(2+3)
Postfix expression is: 123+*
Evaluated expression is: 5

class Main:
    stack = []
    @staticmethod
    def push(item):
        Main.stack.append(item)
    @staticmethod
    def pop():
        return Main.stack.pop()
    #returns precedence of operators
    @staticmethod
    def precedence(symbol):
        if symbol in ['+', '-']:
            return 2
        elif symbol in ['*', '/']:
            return 3
        elif symbol == '^':
            return 4
        elif symbol in ['(', ')', '#']:
            return 1
        return 0
    #check whether the symbol is an operator
    @staticmethod
    def is_operator(symbol):
        return symbol in ['+', '-', '*', '/', '^', '(', ')']
    @staticmethod
    def convert(infix):
        postfix = ""
        j = 0
        Main.push('#')
        for symbol in infix:
            if not Main.is_operator(symbol):
                postfix += symbol
                j += 1
            else:
                if symbol == '(':
                    Main.push(symbol)
                else:
                    if symbol == ')':
                        while Main.stack[-1] != '(':
                            postfix += Main.pop()
                            j += 1
                        Main.pop()  # pop out '('
                    else:
                        if Main.precedence(symbol) > Main.precedence(Main.stack[-1]):
                            Main.push(symbol)
                        else:
                            while Main.precedence(symbol) <= Main.precedence(Main.stack[-1]):
                                postfix += Main.pop()
                                j += 1
                            Main.push(symbol)
        while Main.stack[-1] != '#':
            postfix += Main.pop()
            j += 1
        return postfix
    @staticmethod
    def evaluate(postfix):
        stack_int = []
        for ch in postfix:
            if ch.isdigit():
                stack_int.append(int(ch))
            else:
                operand2 = stack_int.pop()
                operand1 = stack_int.pop()
                if ch == '+':
                    stack_int.append(operand1 + operand2)
                elif ch == '-':
                    stack_int.append(operand1 - operand2)
                elif ch == '*':
                    stack_int.append(operand1 * operand2)
                elif ch == '/':
                    stack_int.append(operand1 / operand2)
        return stack_int[0]
    @staticmethod
    def main():
        infix = "1*(2+3)"
        postfix = Main.convert(infix)
        print("Infix expression is:", infix)
        print("Postfix expression is:", postfix)
        print("Evaluated expression is:", Main.evaluate(postfix))
Main.main()

输出

Infix expression is: 1*(2+3)
Postfix expression is: 123+*
Evaluated expression is: 5