控制系统 - 框图代数

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框图代数只不过是涉及框图基本元素的代数。该代数涉及代数方程的图形表示。

块的基本连接

两个块之间存在三种基本连接类型。

串联

串联也称为级联。在下图中，两个具有传递函数 $G_1(s)$ 和 $G_2(s)$ 的块串联连接。

对于这种组合，我们将得到输出 $Y(s)$ 为

$$Y(s)=G_2(s)Z(s)$$

其中，$Z(s)=G_1(s)X(s)$

$$\右箭头 Y(s)=G_2(s)[G_1(s)X(s)]=G_1(s)G_2(s)X(s)$$

$$\Rightarrow Y(s)=\lbrace G_1(s)G_2(s)\rbrace X(s)$$

将此方程与输出方程的标准形式 $Y(s)=G(s)X(s)$ 进行比较。其中，$G(s) = G_1(s)G_2(s)$。

这意味着我们可以用一个块来表示两个块的串联连接。该单个块的传递函数是这两个块的传递函数的乘积。等效框图如下所示。

同样，您可以用单个块来表示“n”个块的串联连接。该单个块的传递函数是所有那些“n”个块的传递函数的乘积。

并联

并联连接的模块将具有相同的输入。在下图中，两个具有传递函数 $G_1(s)$ 和 $G_2(s)$ 的块并联连接。这两个块的输出连接到求和点。

对于这种组合，我们将得到输出 $Y(s)$ 为

$$Y(s)=Y_1(s)+Y_2(s)$$

其中，$Y_1(s)=G_1(s)X(s)$ 和 $Y_2(s)=G_2(s)X(s)$

$$\Rightarrow Y(s)=G_1(s)X(s)+G_2(s)X(s)=\lbrace G_1(s)+G_2(s)\rbrace X(s)$$

将此方程与输出方程的标准形式 $Y(s)=G(s)X(s)$ 进行比较。

其中，$G(s)=G_1(s)+G_2(s)$。

这意味着我们可以用一个块来表示两个块的并行连接。该单个块的传递函数是这两个块的传递函数之和。等效框图如下所示。

类似地，您可以用单个块来表示“n”个块的并行连接。该单个块的传递函数是所有那些“n”个块的传递函数的代数和。

反馈连接

正如我们在前面的章节中讨论的，反馈有两种类型——正反馈和负反馈。下图所示为负反馈控制系统。这里，具有传递函数 $G(s)$ 和 $H(s)$ 的两个块形成一个闭环。

求和点的输出为 -

$$E(s)=X(s)-H(s)Y(s)$$

输出 $Y(s)$ 是 -

$$Y(s)=E(s)G(s)$$

将 $E(s)$ 值代入上述方程中。

$$Y(s)=\left \{ X(s)-H(s)Y(s)\r大括号 G(s) \right\}$$

$$Y(s)\left \{ 1+G(s)H(s)\rbrace = X(s)G(s) \right\}$$

$$\Rightarrow \frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)}$$

因此，负反馈闭环传递函数为$\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)}$

这意味着我们可以用一个块来表示两个块的负反馈连接。该单个块的传递函数是负反馈的闭环传递函数。等效框图如下所示。

同样，您可以用一个块来表示两个块的正反馈连接。该单块的传递函数是正反馈的闭环传递函数，即$\frac{G(s)}{1-G(s)H(s)}$

求和点的框图代数

相对于块移动求和点有两种可能性 -

• 在块之后移动求和点
• 在块之前移动求和点

现在我们就针对上述两种情况一一看看需要做哪些安排。

在块之后移动求和点

考虑下图所示的框图。这里，求和点出现在块之前。

求和点有两个输入 $R(s)$ 和 $X(s)$。它的输出是$\left\{R(s)+X(s)\right\}$。

因此，块 $G(s)$ 的输入是 $\left \{R(s)+X(s)\right \}$ ，其输出是 –

$$Y(s)=G(s)\左\{R(s)+X(s)\右\}$$

$\Rightarrow Y(s)=G(s)R(s)+G(s)X(s)$ （方程 1）

现在，将求和点移到块之后。该框图如下图所示。

块 $G(s)$ 的输出是 $G(s)R(s)$。

求和点的输出为

$Y(s)=G(s)R(s)+X(s)$ （方程 2）

比较公式 1 和公式 2。

两个方程中的第一项 $'G(s) R(s)'$ 相同。但是，第二项有所不同。为了使第二项也相同，我们还需要一个块 $G(s)$。它具有输入 $X(s)$，并且该块的输出作为求和点的输入而不是 $X(s)$ 给出。该框图如下图所示。

在块之前移动求和点

考虑下图所示的框图。这里，求和点出现在块之后。

该框图的输出是 -

$Y(s)=G(s)R(s)+X(s)$ （公式 3）

现在，将求和点移到块之前。该框图如下图所示。

该框图的输出是 -

$Y(S)=G(s)R(s)+G(s)X(s)$ （方程式 4）

比较公式 3 和公式 4，

第一项 $'G(s) R(s)'$ 在两个方程中相同。但是，第二项有所不同。为了使第二项也相同，我们还需要一个块 $\frac{1}{G(s)}$。它具有输入 $X(s)$，并且该块的输出作为求和点的输入而不是 $X(s)$ 给出。该框图如下图所示。

起飞点的框图代数

相对于块移动起飞点有两种可能性 -

• 在区块后移动起飞点
• 将起飞点移至区块之前

现在我们就针对上述两种情况，一一看看要作什么样的安排。

在区块后移动起飞点

考虑下图所示的框图。在这种情况下，起飞点位于块之前。

这里，$X(s)=R(s)$ 和 $Y(s)=G(s)R(s)$

当您将起飞点移到块之后时，输出 $Y(s)$ 将相同。但是，$X(s)$ 值存在差异。因此，为了获得相同的 $X(s)$ 值，我们需要多一个块 $\frac{1}{G(s)}$。它的输入为 $Y(s)$，输出为 $X(s)$。该框图如下图所示。

将起飞点移至区块之前

考虑下图所示的框图。在这里，起飞点位于块之后。

这里，$X(s)=Y(s)=G(s)R(s)$

当您将起飞点移动到块之前时，输出 $Y(s)$ 将相同。但是，$X(s)$ 值存在差异。因此，为了获得相同的 $X(s)$ 值，我们需要多一个块 $G(s)$。它的输入为 $R(s)$，输出为 $X(s)$。该框图如下图所示。